Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Sphère de centre O et de rayon R : les points M tels que OM = R (une surface). • Boule de centre O et de rayon R : les points M tels que OM R (un solide plein). • Un diamètre mesure 2R ; un plan passant par O coupe la sphère selon un grand cercle de rayon R. • On calcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule.

Le cours

1. Définitions Soit O un point de l'espace et R un nombre strictement positif. •La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R. C'est une surface, sans épaisseur, comme la paroi d'une bulle de savon. •La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM R. C'est un solide plein, limité par la sphère, comme une bille d'acier : la sphère est creuse, la boule est pleine. •Un diamètre est un segment [AB] de milieu O dont les extrémités sont sur la sphère : AB = 2R. Les points A et B sont dits diamétralement opposés. 2. Représentation en perspective On dessine le contour apparent (un cercle de rayon R) et un grand cercle vu en perspective (une ellipse), dont la moitié cachée est en pointillés. Tout plan passant par O coupe la sphère selon un grand cercle, de centre O et de rayon R, qui la partage en deux demi-sphères (et la boule en deux demi-boules). OMRABgrand cerclesphère = surface, boule = solide plein 3. Méthode : situer un point 1.Obtenir la distance OM du point au centre ; si elle n'est pas donnée, la chercher dans un triangle rectangle (théorème de Pythagore). 2.Comparer OM au rayon : si OM = R, le point est sur la sphère (et dans la boule) ; si OM R, il est à l'extérieur de la boule. 4. Du plan à l'espace La sphère est à la boule ce que le cercle est au disque. On parle donc de l'aire d'une sphère (une surface) et du volume d'une boule (un solide). L'expression courante « volume d'une sphère » désigne en fait le volume de la boule qu'elle délimite. 5. Attention Un point de la sphère appartient aussi à la boule, puisque OM = R vérifie OM R. En revanche, le centre O appartient à la boule mais pas à la sphère : sa distance au centre est 0, et 0 < R.

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial