Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Volume d'une boule de rayon R : V = 4/3 R^3. • Demi-boule : V = 2/3 R^3. • Rayon multiplié par k : volume multiplié par k^3. • 1\ L = 1\ dm^3 = 1\,000\ cm^3 et 1\ m^3 = 1\,000\ L.

Le cours

1. La formule Le volume d'une boule de rayon R est donné par : V = 4/3 R^3 Il s'exprime en unités de volume (cm^3, m^3…) ou de contenance, avec 1\ L = 1\ dm^3 et 1\ m^3 = 1\,000\ L. Le rayon est au cube : R^3 = R R R. 2. Méthode 1.Obtenir le rayon (le diamètre divisé par 2). 2.Calculer R^3, puis 4/3 R^3 : on obtient la valeur exacte sous la forme d'un nombre multiplié par . 3.Arrondir à la calculatrice si on le demande, puis convertir si l'énoncé attend des litres. Exemple : pour R = 3\ cm, V = 4/3 27 = 36 113,1\ cm^3. Quand 4R^3 n'est pas divisible par 3, on garde la fraction : pour R = 2\ cm, V = 32/3 33,5\ cm^3. 3. Demi-boule et solides composés •Une demi-boule a pour volume 1/2 4/3 R^3 = 2/3 R^3. •Un solide composé (silo, gélule, cornet de glace) se découpe en solides usuels : on calcule chaque volume, puis on additionne ; pour un solide évidé, on soustrait. •Une boule de rayon R placée dans un cylindre de rayon R et de hauteur 2R en occupe les deux tiers : 4/3 R^3 ( R^2 2R) = 4/3 2 = 2/3 (résultat d'Archimède). 4. Effet d'un agrandissement Si le rayon est multiplié par k, le volume est multiplié par k^3 : une boule de rayon double a un volume 2^3 = 8 fois plus grand. Ainsi, huit billes de rayon 1\ cm fondues ensemble donnent une seule boule de rayon 2\ cm. 5. Attention R^3 n'est pas 3R : pour R = 4, R^3 = 64 et non 12. Avec le diamètre à la place du rayon, le volume est 2^3 = 8 fois trop grand. Pour une demi-boule, on n'oublie pas de diviser par 2.

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial