Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Aire d'une sphère de rayon R : A = 4 R^2, en unités d'aire. • C'est quatre fois l'aire d'un grand disque ( R^2). • Demi-sphère : surface courbe 2 R^2 ; demi-boule avec sa face plane : 3 R^2. • Rayon multiplié par k : aire multipliée par k^2.

Le cours

1. La formule L'aire d'une sphère de rayon R est donnée par : A = 4 R^2 Elle s'exprime en unités d'aire (cm^2, m^2…). Elle vaut quatre fois l'aire R^2 d'un grand disque de la sphère. Archimède a montré qu'elle est aussi égale à l'aire latérale du cylindre qui enveloppe exactement la sphère (rayon R, hauteur 2R) : 2 R 2R = 4 R^2. 2. Méthode 1.Obtenir le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, le diviser par 2. 2.Élever le rayon au carré, puis multiplier par 4 : on obtient la valeur exacte sous la forme d'un nombre multiplié par . 3.Arrondir à la calculatrice si on le demande, en gardant l'unité d'aire. Exemple : pour R = 2,5\ cm, A = 4 6,25 = 25 78,54\ cm^2. 3. Demi-sphère, problème inverse, agrandissement •La surface courbe d'une demi-sphère a pour aire 4 R^2/2 = 2 R^2. Un solide en forme de demi-boule a en plus une face plane, un disque d'aire R^2 : son aire totale vaut 3 R^2. •Pour retrouver le rayon à partir de l'aire, on résout 4 R^2 = A : par exemple, 4 R^2 = 196 donne R^2 = 49, donc R = 7 (un rayon est positif). •Si le rayon est multiplié par k, l'aire est multipliée par k^2 : en doublant le rayon, on multiplie l'aire par 4. 4. Attention 4 R^2 signifie 4 R R : seul R est au carré. Avec le diamètre à la place du rayon, le résultat est quatre fois trop grand. L'aire est en R^2 et le volume de la boule en R^3 : pour R = 3, on trouve dans les deux cas le nombre 36, mais l'un est en cm^2 et l'autre en cm^3.

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