Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Boule dans un cube d'arête a : R = a/2, la boule occupe /6 52,4\% du cube. • Boule dans un cylindre de hauteur h = 2R : V_boule = 2/3V_cylindre. • L'espace vide dans le cylindre représente 1/3 de son volume.

Le cours

1. Boule inscrite dans un cube Une boule est inscrite dans un cube lorsqu'elle est tangente aux six faces intérieures de ce cube. Le diamètre de la boule est alors exactement égal à la longueur de l'arête a du cube : Arête du cube : a = 2R R = a/2 Volume du cube : V_cube = a^3 = (2R)^3 = 8R^3 Volume de la boule : V_boule = 4/3 R^3 La proportion de volume occupée par la boule est V_bouleV_cube = 4/3 R^38R^3 = /6 0,524 (soit environ 52,4\%). 2. Boule inscrite dans un cylindre et résultat d'Archimède Une boule de rayon R est inscrite dans un cylindre si le cylindre a pour rayon de base R et pour hauteur le diamètre de la boule (h = 2R) : Volume du cylindre circonscrit : V_cylindre = R^2 h = R^2 (2R) = 2 R^3 Rapport d'Archimède : V_bouleV_cylindre = 4/3 R^32 R^3 = 4/3 2 = 2/3 Le volume de la boule représente exactement les deux tiers du volume du cylindre dans lequel elle est enfermée. 3. Erreur fréquente Ne confondez pas le cube avec le cylindre circonscrit : le cylindre épouse les parois latérales de la boule plus étroitement que le cube, c'est pourquoi le taux d'occupation dans le cylindre ( 66,7\%) est bien supérieur à celui dans le cube ( 52,4\%).

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial