Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Volume déplacé = Volume de la boule totalement immergée : V = 4/3 R_boule^3. • Dans un cylindre de rayon R_cyl : V = R_cyl^2 h. • Élévation du niveau d'eau : h = 4 R_boule^33 R_cyl^2.

Le cours

1. Principe de conservation du volume lors de l'immersion Lorsqu'on plonge un objet solide et étanche entièrement dans un récipient contenant un liquide, le liquide s'élève. Le volume du liquide déplacé par cette élévation est rigoureusement égal au volume du solide immergé : V = V_immergé = V_boule Cette méthode physique permet de mesurer avec précision le volume de tout solide de forme complexe. 2. Calcul de la montée d'eau dans une éprouvette cylindrique Dans une éprouvette ou un récipient cylindrique de rayon de base R_cyl, la colonne d'eau supplémentaire forme elle-même un petit cylindre d'eau de hauteur h : Le volume de la tranche d'eau déplacée est : V = R_cyl^2 h Puisque ce volume est égal au volume de la boule de rayon R_boule : R_cyl^2 h = 4/3 R_boule^3 En simplifiant par , on obtient la formule de l'élévation du niveau : h = 4 R_boule^33 R_cyl^2 3. Erreur fréquente Ne jamais confondre le rayon du cylindre R_cyl et le rayon de la boule R_boule. De plus, cette formule n'est valable que si la boule est totalement immergée (entièrement sous l'eau) et si le récipient ne déborde pas.

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial