Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Sphère : OM = R, aire 4 R^2 ; boule : OM R, volume 4/3 R^3. • Section à la distance d du centre : cercle de rayon r = R^2 - d^2. • Coordonnées géographiques : (latitude ; longitude), avec pour références l'équateur et le méridien de Greenwich. • Solide composé : découper, calculer chaque volume, puis additionner ou soustraire.

Le cours

1. Formulaire des solides du collège SolideVolumeÀ savoir aussiPavé droitL hCube : a a a = a^3Prisme droit, cylindreA_base hCylindre : r^2 hPyramide, côneA_base h3Cône : 1/3 r^2 hBoule de rayon R4/3 R^3Aire de la sphère : 4 R^2 2. Sphère, boule, sections et repérage •Sphère de centre O et de rayon R : les points tels que OM = R (une surface) ; boule : les points tels que OM R (un solide). •Section par un plan situé à la distance d du centre : un cercle de rayon r = R^2 - d^2 (un grand cercle si d = 0). •Repérage terrestre : (latitude ; longitude), latitude de 0^ à 90^ N ou S depuis l'équateur, longitude de 0^ à 180^ E ou O depuis le méridien de Greenwich ; 1^ d'arc de grand cercle représente environ 111\ km. 3. Méthode pour un problème 1.Lire ce qui est demandé : une surface (peinture, cuir, revêtement) fait appel à l'aire de la sphère ; une contenance, une masse ou un remplissage au volume de la boule ; une coupe au triangle OHM ; une position sur le globe aux coordonnées géographiques. 2.Préparer les données : le rayon et non le diamètre, toutes les longueurs dans la même unité, les distances mesurées depuis le centre. 3.Découper un solide composé en solides usuels ; additionner les volumes, ou les soustraire pour un solide évidé ; une demi-boule vaut 2/3 R^3. 4.Garder la valeur exacte avec jusqu'au bout, arrondir à la fin, puis convertir : 1\ cm^3 = 1\ mL, 1\ dm^3 = 1\ L, 1\ m^3 = 1\,000\ L. 5.Contrôler : ordre de grandeur (avec 4/3 4,2), unité, rayon de section plus petit que R. 4. Les erreurs les plus fréquentes •Oublier de diviser par 2 pour une demi-boule, ou oublier la face plane d'une demi-boule dans un calcul d'aire. •Utiliser le diamètre dans 4 R^2 (aire 4 fois trop grande) ou dans 4/3 R^3 (volume 8 fois trop grand). •Écrire une aire en cm^3 ou un volume en cm^2. •Croire que l'aire ou le volume sont multipliés par k quand le rayon l'est : l'aire est multipliée par k^2, le volume par k^3.

Dans ce chapitre

• Prismes, cylindres, pyramides et cônes de 4ème
• Cercle, disque, aire et périmètre de 5ème
• Unités de volume et de contenance : conversions entre mètres cubes et litres de 5ème
• Définition de la sphère (surface) et de la boule (solide plein) de rayon R
• Aire d'une sphère : formule A = 4 R^2
• Volume d'une boule : formule V = 4/3 R^3
• Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2
• Repérage sur la Terre : latitude, longitude, équateur et méridien de Greenwich
• Solides composites avec demi-boules : gélule, silo et cornet de glace
• Agrandissement et réduction appliqués à la sphère et à la boule (rapports k, k² et k³)
• Boule inscrite dans un cube ou dans un cylindre et comparaison de volumes
• Volume déplacé et immersion d’une boule dans un cylindre gradué
• Calcul de distances sur la Terre le long d’un méridien ou de l’équateur
• Bilan : Synthèse et méthode sur la sphère, la boule et le repérage spatial