Section d'une sphère par un plan : cercle de section et relation r = R^2 - d^2

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• La section d'une sphère par un plan est un cercle (réduit à un point si le plan est tangent). • Le triangle OHM est rectangle en H : R^2 = d^2 + r^2. • Rayon de la section : r = R^2 - d^2 ; grand cercle de rayon R si d = 0. • La section d'une boule est un disque, d'aire r^2.

Le cours

1. La propriété On coupe une sphère de centre O et de rayon R par un plan. On note H le pied de la perpendiculaire au plan passant par O, et d = OH la distance du centre au plan. •Si d cercle de centre H et de rayon r ; la section de la boule est le disque correspondant. •Si d = 0, le plan passe par O : la section est un grand cercle, de rayon R, le plus grand possible. •Si d = R, le plan touche la sphère en un seul point, H : il est tangent à la sphère. •Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère. 2. Calcul du rayon de la section Pour tout point M du cercle de section, le triangle OHM est rectangle en H, d'hypoténuse OM = R. Le théorème de Pythagore donne : R^2 = d^2 + r^2 donc r = R^2 - d^2 OHMdrROHM rectangle en H : R² = d² + r² Plus le plan s'éloigne du centre, plus le cercle de section est petit : r diminue de R (pour d = 0) jusqu'à 0 (pour d = R). On a toujours r R. 3. Méthode 1.Faire un schéma en coupe et repérer le triangle OHM rectangle en H. 2.Identifier les trois longueurs : OM = R (l'hypoténuse), OH = d et HM = r. 3.Si l'énoncé donne une distance mesurée depuis la surface (profondeur, hauteur de liquide), la convertir en distance au centre. 4.Appliquer r^2 = R^2 - d^2 (ou d^2 = R^2 - r^2 pour retrouver la distance), puis prendre la racine carrée. Exemple : R = 5\ cm et d = 3\ cm donnent r^2 = 25 - 9 = 16, donc r = 4\ cm. 4. Dans la vie courante Une tranche d'orange, la surface de l'eau dans un bol hémisphérique, la ligne de flottaison d'une bouée sphérique ou un parallèle terrestre sont des sections de sphère ou de boule par un plan : leur rayon se calcule toujours dans le triangle OHM. 5. Attention L'hypoténuse est toujours le rayon R de la sphère : on soustrait les carrés, r^2 = R^2 - d^2, et r n'est pas R - d (pour R = 5 et d = 3, r = 4 et non 2). La distance d se mesure depuis le centre, pas depuis la surface.

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