Recherche systématique de tous les diviseurs d'un entier par paires de facteurs

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Les diviseurs de N s'associent par paires : d d' = N. • Pour trouver tous les diviseurs de N, il suffit de tester les entiers d tels que d^2 N. • Les diviseurs d'un entier distinct d'un carré parfait sont en nombre pair ; un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.

Le cours

1. Propriété des diviseurs allant par paires Tout diviseur d d'un nombre entier positif N est obligatoirement associé à un second diviseur d' tel que : d d' = N avec d' = N/d Si d d', alors nécessairement d d d d' = N, ce qui signifie que d^2 N. Il suffit donc de tester les diviseurs potentiels d dont le carré est inférieur ou égal à N. 2. Algorithme de recherche exhaustive ordonnée Pour trouver tous les diviseurs d'un entier N sans aucun oubli : 1. On commence par d = 1 : la première paire est (1\,;\,N). 2. On teste successivement les entiers d = 2, 3, 4 jusqu'à ce que d d > N. 3. Pour chaque entier testé : si la division de N par d tombe juste (reste nul), on note la paire (d\,;\,N/d). 4. On regroupe tous les diviseurs trouvés et on les ordonne du plus petit au plus grand. Cas particulier des carrés parfaits : si N est un carré d'entier (comme 36 = 6 6), le diviseur central 6 n'est compté qu'une seule fois dans la liste finale. 3. Erreurs méthodologiques fréquentes Tester les nombres au hasard mène presque toujours à des oublis (souvent les grands diviseurs comme N/2 ou N/3). L'arrêt dès que d^2 > N garantit de trouver l'intégralité des diviseurs sans calculs superflus.

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