Multiples communs à deux entiers et problèmes de synchronisation

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Un multiple commun à a et b est divisible à la fois par a et par b. • Tous les multiples communs sont des multiples du plus petit d'entre eux. • Pour synchroniser deux événements de périodes a et b, on cherche leur plus petit multiple commun non nul.

Le cours

1. Définition d'un multiple commun Un nombre entier positif M est un multiple commun à deux nombres entiers a et b s'il est à la fois dans la liste des multiples de a et dans celle des multiples de b. Cela signifie qu'il existe deux entiers k et k' tels que : M = k a = k' b Le produit a b est toujours un multiple commun à a et b. Le plus petit multiple commun non nul est le premier nombre (hors zéro) où les deux séquences de multiples se rencontrent. 2. Recherche méthodique du plus petit multiple commun Pour trouver le premier multiple commun non nul à deux nombres a et b (avec a 1. On écrit les multiples successifs du plus grand nombre b : b, 2b, 3b, 4b 2. À chaque étape, on teste si ce nombre est divisible par le plus petit nombre a. 3. Le premier nombre qui convient est le plus petit multiple commun non nul. Ce procédé s'applique typiquement aux problèmes de répétitions cycliques : signaux clignotants à intervalles réguliers, passages simultanés de bus ou tours de piste d'athlètes. 3. Erreur fréquente Croire que le plus petit multiple commun est toujours égal au produit a b. C'est vrai si a et b n'ont pas de diviseur commun (ex. pour 4 et 5, c'est 20), mais c'est faux en général : pour 6 et 8, le plus petit multiple commun est 24, et non 48.

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