Diviseurs communs à deux entiers et situations de partage équitable

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Un diviseur commun à a et b est un entier qui divise à la fois a et b. • Pour trouver tous les diviseurs communs, on croise les deux listes complètes de diviseurs. • Le plus grand diviseur commun donne le nombre maximal de lots identiques sans reste.

Le cours

1. Définition d'un diviseur commun Un nombre entier positif d est appelé un diviseur commun à deux nombres entiers a et b s'il divise à la fois a et b. Cela signifie que la division de a par d et la division de b par d tombent toutes les deux justes (restes nuls). 1 est toujours un diviseur commun à n'importe quelle paire d'entiers. Le plus grand des diviseurs communs est noté PGCD (plus grand commun diviseur). 2. Méthode des deux listes pour trouver les diviseurs communs Pour déterminer tous les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b : 1. On établit la liste complète et ordonnée des diviseurs de a par recherche des paires de facteurs. 2. On établit la liste complète et ordonnée des diviseurs de b. 3. On repère les nombres présents simultanément dans les deux listes : ce sont les diviseurs communs. 4. La plus grande valeur de cette liste commune est le plus grand diviseur commun. Dans les problèmes de partage équitable sans reste de deux collections d'objets différents, le nombre de lots identiques possibles doit être un diviseur commun aux deux effectifs. 3. Piège fréquent dans les problèmes concrets Ne confondez pas le nombre de lots (qui doit diviser chaque effectif) avec le nombre d'objets dans chaque lot. Si l'on réalise 6 lots à partir de 18 billes rouges et 24 billes bleues, chaque lot contiendra 18/6 = 3 billes rouges et 24/6 = 4 billes bleues.

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