Le crible d'Ératosthène et liste des nombres premiers jusqu'à 50

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Le crible d'Ératosthène élimine successivement les multiples des nombres premiers 2, 3, 5, 7. • Il y a 15 nombres premiers inférieurs à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. • Pour tester si un nombre 50 est premier, il suffit de vérifier s'il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7.

Le cours

1. Principe du crible d'Ératosthène Le crible d'Ératosthène est un procédé systématique inventé dans l'Antiquité grecque permettant d'obtenir la liste complète des nombres premiers jusqu'à un entier donné N. Il consiste à éliminer tous les nombres composés en biffant successivement les multiples des petits nombres premiers. Règle d'arrêt : pour chercher les nombres premiers jusqu'à 50, il suffit de barrer les multiples des nombres premiers p tels que p^2 50. Comme 7^2 = 49 50 et 11^2 = 121 > 50, on s'arrête après avoir traité 7. 2. Déroulement du crible sur les nombres de 1 à 50 On écrit tous les nombres de 1 à 50 dans une grille : • On barre le nombre 1 (qui n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur). • On entoure 2 (premier) et on barre tous ses multiples pairs stricts : 4, 6, 8, 10 50. • Le plus petit nombre non barré est 3 : on l'entoure et on barre ses multiples non encore barrés : 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45. • Le suivant est 5 : on l'entoure et on barre ses multiples : 25, 35 (50 déjà barré). • Le suivant est 7 : on l'entoure et on barre ses multiples : 49 (7 7). • Tous les nombres non encore barrés sont premiers ! On les entoure. Il y a exactement 15 nombres premiers inférieurs à 50 : 2\,;\; 3\,;\; 5\,;\; 7\,;\; 11\,;\; 13\,;\; 17\,;\; 19\,;\; 23\,;\; 29\,;\; 31\,;\; 37\,;\; 41\,;\; 43\,;\; 47 3. Les faux amis sous 50 Méfiez-vous particulièrement des nombres impairs qui se terminent par 1, 3, 7 ou 9 mais qui ne sont pas premiers : 49 = 7 7, 39 = 3 13, 33 = 3 11, 27 = 3 9, 21 = 3 7. Vérifiez toujours les critères de divisibilité par 3 et 7.

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