Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• L'aire d'un rectangle de côtés k et (a + b) vaut k (a + b). • Elle est aussi égale à la somme des aires des deux sous-rectangles : k a + k b. • L'égalité géométrique k(a + b) = ka + kb est la base de la distributivité simple.

Le cours

1. Découpage d'un grand rectangle en deux rectangles adjacents Considérons un grand rectangle découpé par un trait vertical en deux rectangles plus petits placés côte à côte. Ces deux rectangles partagent la même hauteur (ou même largeur), notée k. Leurs longueurs respectives sont notées a et b. La longueur totale du grand rectangle est donc égale à la somme a + b. Hauteur commune aux deux parcelles : k Longueur de la première zone : a Aire_1 = k a Longueur de la seconde zone : b Aire_2 = k b Longueur totale du rectangle : a + b Cette figure fondamentale permet d'associer une réalité géométrique concrète aux écritures algébriques de la multiplication. 2. Deux expressions équivalentes pour une même surface L'aire totale du grand rectangle peut être calculée de deux façons différentes qui donnent obligatoirement le même résultat : • Méthode 1 (globale) : on multiplie la largeur commune par la longueur totale : Aire totale = k (a + b) • Méthode 2 (par morceaux) : on additionne les aires des deux rectangles partiels : Aire totale = k a + k b Puisque ces deux calculs mesurent exactement la même surface, on en déduit l'égalité : k (a + b) = k a + k b. 3. Erreur fréquente Confondre aire et périmètre lors de la partition. Lorsque deux rectangles sont accolés, le côté de séparation intérieur ne fait pas partie du contour extérieur. Pour les aires, en revanche, les surfaces s'ajoutent toujours sans aucune perte ni chevauchement.

Dans ce chapitre

• Calcul mental et décompositions multiplicatives de 6ème
• Recherche d'un facteur commun numérique dans une somme de 6ème
• Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème
• Propriété de distributivité simple : k(a+b) = ka + kb
• Développer un produit de la forme k(ax + b) et k(ax - b)
• Factoriser une somme ou une différence avec un facteur commun évident
• Réduire une expression littérale simple de degré 1
• Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème
• Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème
• Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème
• Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème
• Factoriser une somme de termes en x par le facteur littéral x — 5ème
• Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la distributivité et la factorisation