Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• On développe d'abord le produit distributif avant toute addition ou soustraction extérieure. • On réunit ensuite les termes en x entre eux et les nombres constants entre eux. • Ne jamais regrouper un nombre constant et un terme en x : 5x + 3 8x !

Le cours

1. Ordre des opérations dans une expression complexe Une expression littérale peut comporter à la fois un produit à développer et des termes isolés additionnés ou soustraits en dehors de la parenthèse, comme A = 3(2x + 4) + 5x - 7. Pour simplifier une telle expression, on respecte scrupuleusement les priorités opératoires : Étape 1 : Développer le produit en priorité par distributivité simple. Étape 2 : Réécrire toute l'expression sans parenthèses en conservant les termes isolés. Étape 3 : Réduire en regroupant les termes de même nature. On ne touche jamais aux termes isolés tant que le développement de la parenthèse n'est pas entièrement achevé. 2. Réduire en regroupant termes en x et termes constants Après avoir développé, on regroupe les termes contenant la variable x d'un côté, et les nombres constants seuls de l'autre côté : Soit l'expression : A = 4(3x + 2) + 5x - 6 Développement de la parenthèse : 4 3x + 4 2 = 12x + 8 Réécriture complète : A = 12x + 8 + 5x - 6 Regroupement : A = (12x + 5x) + (8 - 6) Réduction finale : A = 17x + 2 Rappel crucial : on ne peut jamais additionner des termes en x avec des nombres sans x (17x + 2 19x). 3. Erreur fréquente Dans une expression comme 7 + 2(3x + 5), l'erreur classique est de commencer par additionner 7 + 2 = 9. Cette opération est formellement fausse car la multiplication par 2 est prioritaire sur l'addition avec 7. Il faut obligatoirement développer 2(3x + 5) = 6x + 10, puis ajouter 7, ce qui donne 7 + 6x + 10 = 6x + 17.

Dans ce chapitre

• Calcul mental et décompositions multiplicatives de 6ème
• Recherche d'un facteur commun numérique dans une somme de 6ème
• Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème
• Propriété de distributivité simple : k(a+b) = ka + kb
• Développer un produit de la forme k(ax + b) et k(ax - b)
• Factoriser une somme ou une différence avec un facteur commun évident
• Réduire une expression littérale simple de degré 1
• Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème
• Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème
• Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème
• Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème
• Factoriser une somme de termes en x par le facteur littéral x — 5ème
• Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la distributivité et la factorisation