Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Un rectangle de dimensions k et (x + a) a pour aire globale A = k(x + a). • En additionnant ses deux sous-rectangles, son aire s'écrit aussi A = kx + ka. • L'égalité k(x + a) = kx + ka est illustrée par l'égalité des surfaces.

Le cours

1. Représentation géométrique d'une expression littérale Le calcul d'aires de rectangles fournit une interprétation concrète et visuelle du calcul littéral. Considérons un rectangle de largeur k et dont la longueur est variable, exprimée sous la forme (x + a), où x est un nombre positif quelconque et a un nombre fixé. Rectangle global : largeur = k, longueur = x + a Aire sous forme factorisée (largeur longueur totale) : A = k(x + a) Cette écriture représente la superficie globale en une seule multiplication d'une largeur par une parenthèse. 2. Découpage en sous-surfaces et égalité des aires En partageant ce grand rectangle en deux rectangles par une ligne verticale, on observe deux zones distinctes : • La zone 1 a pour côtés k et x : son aire est A_1 = k x = kx. • La zone 2 a pour côtés k et a : son aire est A_2 = k a = ka. • L'aire totale est la somme des deux morceaux : A = kx + ka. Les deux expressions mesurant exactement la même surface, on a la preuve visuelle : k(x + a) = kx + ka. De même, si une zone est retirée, l'aire restante de côtés k et (x - a) vaut k(x - a) = kx - ka. 3. Erreur fréquente Ne pas confondre l'aire et le périmètre d'une figure littérale. L'aire est le produit des dimensions (cm^2), alors que le périmètre est la somme des longueurs des côtés (cm). Pour un rectangle de côtés k et x + a, le périmètre vaut 2k + 2(x + a) = 2x + 2a + 2k, ce qui est une formule de degré 1 différente de l'aire.

Dans ce chapitre

• Calcul mental et décompositions multiplicatives de 6ème
• Recherche d'un facteur commun numérique dans une somme de 6ème
• Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème
• Propriété de distributivité simple : k(a+b) = ka + kb
• Développer un produit de la forme k(ax + b) et k(ax - b)
• Factoriser une somme ou une différence avec un facteur commun évident
• Réduire une expression littérale simple de degré 1
• Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème
• Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème
• Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème
• Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème
• Factoriser une somme de termes en x par le facteur littéral x — 5ème
• Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la distributivité et la factorisation