Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Factoriser transforme une somme de produits en un seul produit : ka + kb = k(a + b). • On isole le facteur commun et on effectue la somme ou différence entre parenthèses. • Permet de calculer mentalement des produits complexes : 23 102 - 23 2 = 23 100 = 2300.

Le cours

1. Principe de la factorisation numérique La distributivité permet de transformer une somme de deux multiplications en un seul produit : c'est la factorisation. On utilise la formule de droite à gauche : Addition : k a + k b = k (a + b) Soustraction : k a - k b = k (a - b) Cette technique est particulièrement efficace en calcul mental lorsque les nombres a et b ont une somme ou une différence très simple (comme 10, 100 ou 1000). 2. Repérer le facteur commun et calculer mentalement Au lieu de poser deux multiplications longues et fastidieuses suivies d'une addition, on repère le nombre commun k et on l'isole : Calculer : 47 73 + 47 27 1. Le facteur commun est 47. 2. On factorise : 47 (73 + 27). 3. On calcule la parenthèse : 73 + 27 = 100. 4. Résultat immédiat : 47 100 = 4700. La même méthode fonctionne remarquablement bien avec les nombres décimaux : 8,4 103 - 8,4 3 = 8,4 (103 - 3) = 8,4 100 = 840. 3. Erreur fréquente L'erreur la plus fréquente consiste à additionner le facteur commun deux fois lors de la factorisation, par exemple en écrivant « (47 + 47) (73 + 27) ». Rappelez-vous que le facteur commun k n'est écrit qu'une seule fois devant la parenthèse : k(a + b).

Dans ce chapitre

• Calcul mental et décompositions multiplicatives de 6ème
• Recherche d'un facteur commun numérique dans une somme de 6ème
• Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème
• Propriété de distributivité simple : k(a+b) = ka + kb
• Développer un produit de la forme k(ax + b) et k(ax - b)
• Factoriser une somme ou une différence avec un facteur commun évident
• Réduire une expression littérale simple de degré 1
• Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème
• Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème
• Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème
• Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème
• Factoriser une somme de termes en x par le facteur littéral x — 5ème
• Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la distributivité et la factorisation