Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• La distributivité s'applique que le facteur k soit placé à gauche ou à droite de la parenthèse. • (a + b)k = ak + bk et (a - b)k = ak - bk. • Exemple : (4x - 5) 3 = 4x 3 - 5 3 = 12x - 15.

Le cours

1. La multiplication est commutative La multiplication des nombres possède la propriété de commutativité : l'ordre des facteurs ne change pas le résultat du produit. Ainsi, pour tous nombres a, b et k : Forme avec facteur à gauche : k (a + b) = ka + kb Forme avec facteur à droite : (a + b) k = ak + bk = ka + kb Forme avec soustraction : (a - b) k = ak - bk = ka - kb Lorsque le facteur multiplicatif est placé après la parenthèse, il se distribue exactement de la même manière sur chaque terme situé à l'intérieur de la parenthèse. 2. Développer des expressions littérales avec facteur à droite Pour développer une expression de la forme (ax + b) k, on multiplie le premier terme par k, puis le second terme par k : Exemple 1 : (3x + 7) 4 = 3x 4 + 7 4 = 12x + 28 Exemple 2 : (5x - 2) 6 = 5x 6 - 2 6 = 30x - 12 Exemple 3 : (8 - 4x) 3 = 8 3 - 4x 3 = 24 - 12x On prend soin de respecter le signe d'addition ou de soustraction reliant les deux termes à l'intérieur de la parenthèse. 3. Erreur fréquente L'erreur courante consiste à ne multiplier par k que le terme le plus proche de lui, c'est-à-dire le dernier terme. Écrire (2x + 5) 3 = 2x + 15 est faux ! Le facteur 3 multiplie l'intégralité de la parenthèse : il doit être distribué sur 2x ET sur 5, ce qui donne 6x + 15.

Dans ce chapitre

• Calcul mental et décompositions multiplicatives de 6ème
• Recherche d'un facteur commun numérique dans une somme de 6ème
• Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème
• Propriété de distributivité simple : k(a+b) = ka + kb
• Développer un produit de la forme k(ax + b) et k(ax - b)
• Factoriser une somme ou une différence avec un facteur commun évident
• Réduire une expression littérale simple de degré 1
• Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème
• Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème
• Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème
• Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème
• Factoriser une somme de termes en x par le facteur littéral x — 5ème
• Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la distributivité et la factorisation