Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Pour modéliser une figure, on exprime chaque dimension en fonction de la lettre x. • Le périmètre est la somme des côtés extérieurs du contour : on regroupe les termes en x. • L'aire d'un rectangle est le produit largeur longueur : on développe par distributivité.

Le cours

1. Modéliser une figure géométrique par une expression littérale Dans de nombreux problèmes de géométrie, les dimensions des figures ne sont pas des nombres fixes mais dépendent d'une variable notée x. Modéliser la situation consiste à exprimer les grandeurs recherchées (périmètre ou aire) à l'aide d'une formule littérale en fonction de x. Périmètre : additionner toutes les longueurs qui forment le contour extérieur. Aire : appliquer les formules usuelles (rectangle : L l, carré : c^2, triangle : b h/2). Unité : les périmètres s'expriment en cm, m ; les aires en cm^2, m^2. Cette mise en équation géométrique est l'un des objectifs majeurs du programme du cycle 4. 2. Développer et réduire l'expression obtenue Une fois la formule littérale posée, on la simplifie au maximum en appliquant la distributivité pour supprimer les parenthèses, puis en réduisant les termes de même nature : Exemple : rectangle de dimensions 5 et (2x + 3). Périmètre : -slate-800 leading-relaxed = 2 5 + 2(2x + 3) = 10 + 4x + 6 = 4x + 16 Aire : A = 5 (2x + 3) = 10x + 15 L'expression réduite permet ensuite de calculer instantanément le périmètre ou l'aire pour n'importe quelle valeur de x par simple substitution. 3. Erreur fréquente Compter des segments intérieurs dans le calcul du périmètre. Le périmètre d'une figure composée ne prend en compte QUE les bordures extérieures visibles. Si deux figures sont collées, le segment de contact intérieur ne doit jamais être ajouté au périmètre global.

Dans ce chapitre

• Calcul mental et décompositions multiplicatives de 6ème
• Recherche d'un facteur commun numérique dans une somme de 6ème
• Aire d'un rectangle partitionné en deux zones rectangulaires de 6ème
• Propriété de distributivité simple : k(a+b) = ka + kb
• Développer un produit de la forme k(ax + b) et k(ax - b)
• Factoriser une somme ou une différence avec un facteur commun évident
• Réduire une expression littérale simple de degré 1
• Distributivité à droite : développer les expressions (a + b)k et (a - b)k — 5ème
• Développer puis réduire une expression littérale avec termes isolés — 5ème
• Modélisation géométrique de la distributivité et calculs d'aires littérales — 5ème
• Factoriser une expression numérique pour calculer astucieusement — 5ème
• Factoriser une somme de termes en x par le facteur littéral x — 5ème
• Problèmes de périmètres et d'aires : modéliser et réduire au premier degré — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la distributivité et la factorisation