Calcul des dimensions d'une section parallèle à la base par application du théorème de Thalès

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• La section parallèle à la base d'une pyramide ou d'un cône est une réduction de rapport k = SO'/SO. • Dans le triangle formé par le sommet et la base, le théorème de Thalès donne SO'/SO = O'A'/OA = k. • Toute dimension de la section vérifie : dimension section = k dimension base.

Le cours

1. Configuration de Thalès dans une pyramide ou un cône Lorsqu'on coupe une pyramide de sommet S (ou un cône de révolution) par un plan parallèle à sa base, tout plan vertical passant par le sommet S et la hauteur coupe le solide selon un triangle où apparaissent des segments parallèles. Soit [SO] la hauteur principale, O' le centre de la section, A un point du contour de la base et A' le point correspondant sur la section. Les droites (O'A') et (OA) sont parallèles car contenues dans des plans parallèles. 2. Égalité des rapports de Thalès et coefficient de réduction Dans le triangle SOA, avec (O'A') // (OA), le théorème de Thalès s'énonce : SO'/SO = SA'/SA = O'A'/OA = k Le nombre k est le coefficient de réduction. Puisque le plan coupe le solide entre le sommet et la base, on a toujours 0 Longueur réduite = k Longueur initiale 3. Erreur fréquente Attention à ne pas utiliser la distance O'O (distance entre les deux plans) à la place de la distance au sommet SO' dans le rapport de Thalès. Le rapport s'exprime obligatoirement depuis le sommet commun S : k = SO'/SO et non O'O/SO.

Dans ce chapitre

• Solides usuels : pavé droit, cylindre, prisme, pyramide et cône de 5ème
• Formules d'aires usuelles du triangle, du rectangle et du disque de 5ème
• Volumes élémentaires du pavé droit et du cylindre de révolution de 5ème
• Section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête
• Section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à l'axe
• Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
• Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base
• Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, aires et volumes
• Section d'un prisme droit par un plan parallèle aux bases ou parallèle aux arêtes latérales
• Calcul des dimensions d'une section parallèle à la base par application du théorème de Thalès
• Tracé en vraie grandeur de la section plane d'un solide usuel
• Calcul du volume d'un tronc de pyramide ou d'un tronc de cône après une section
• Détermination du coefficient de réduction ou d'agrandissement à partir des aires ou des volumes
• Bilan : Synthèse et méthode sur les sections planes et réductions