Détermination du coefficient de réduction ou d'agrandissement à partir des aires ou des volumes

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Rapport des aires : k^2 = A'A, d'où k = A'A. • Rapport des volumes : k^3 = V'V. • Diviser les longueurs par 2 divise les aires par 4 et les volumes par 8.

Le cours

1. Les lois d'échelle en dimension 1, 2 et 3 Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de coefficient strictement positif k : • Les longueurs sont multipliées par k. • Les aires sont multipliées par k^2 : A' = k^2 A. • Les volumes sont multipliés par k^3 : V' = k^3 V. Si 0 1, il s'agit d'un agrandissement. 2. Retrouver le rapport k à partir d'un rapport d'aires ou de volumes Pour déterminer le coefficient k lorsque l'on connaît les aires ou les volumes : • À partir des aires : on calcule le quotient des aires, puis on prend la racine carrée : k^2 = A'A k = A'A • À partir des volumes : on calcule le quotient des volumes : k^3 = V'V Au collège, on reconnaît les puissances de cubes usuels : (1/2)^3 = 1/8 ; (1/3)^3 = 1/27 ; (1/10)^3 = 1/1000 ; 2^3 = 8 ; 3^3 = 27. 3. Erreur fréquente Ne confondez pas le rapport des volumes avec le rapport des longueurs. Si le volume d'un solide est divisé par 8, ses dimensions linéaires ne sont pas divisées par 8, mais par [3]8 = 2. Diviser toutes les longueurs par 2 divise déjà le volume par 8.

Dans ce chapitre

• Solides usuels : pavé droit, cylindre, prisme, pyramide et cône de 5ème
• Formules d'aires usuelles du triangle, du rectangle et du disque de 5ème
• Volumes élémentaires du pavé droit et du cylindre de révolution de 5ème
• Section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête
• Section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à l'axe
• Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
• Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base
• Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, aires et volumes
• Section d'un prisme droit par un plan parallèle aux bases ou parallèle aux arêtes latérales
• Calcul des dimensions d'une section parallèle à la base par application du théorème de Thalès
• Tracé en vraie grandeur de la section plane d'un solide usuel
• Calcul du volume d'un tronc de pyramide ou d'un tronc de cône après une section
• Détermination du coefficient de réduction ou d'agrandissement à partir des aires ou des volumes
• Bilan : Synthèse et méthode sur les sections planes et réductions