Factorisation avec facteur commun opposé et factorisation de signes

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Deux facteurs opposés vérifient : (b - a) = -(a - b). • On fait basculer le signe de l'opération : + k(b - a) = - k(a - b). • Deux expressions opposées ont des carrés identiques : (b - a)^2 = (a - b)^2.

Le cours

1. Repérer deux facteurs opposés Dans certaines expressions, le facteur commun ne saute pas aux yeux car il apparaît sous deux formes opposées l'une de l'autre : par exemple (x - 5) et (5 - x). La relation clé entre deux termes opposés est : (b - a) = -(a - b) = -1 (a - b) Exemples : (3 - x) = -(x - 3) et (1 - 2x) = -(2x - 1). 2. Factoriser le signe moins pour révéler le facteur La méthode consiste à extraire le signe négatif devant le second terme : Soit l'expression : E = (2x + 1)(x - 3) + 4(3 - x). 1. On remplace (3 - x) par -(x - 3) : E = (2x + 1)(x - 3) + 4 [-(x - 3)] = (2x + 1)(x - 3) - 4(x - 3) 2. Le facteur commun (x - 3) apparaît clairement : E = (x - 3)[(2x + 1) - 4] = (x - 3)(2x - 3) Remarque sur les carrés : (b - a)^2 = [-(a - b)]^2 = (a - b)^2. Deux expressions opposées ont le même carré. 3. Erreur fréquente Confondre opposés et égaux : (x - 3) et (3 - x) ne sont PAS égaux ! Remplacer purement et simplement l'un par l'autre sans changer le signe devant le produit est une faute grave qui fausse totalement le résultat.

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