Factorisation avec l'identité remarquable a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

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À retenir

• a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) : deux carrés séparés par un signe moins. • Repérer les carrés : 49x^2 = (7x)^2 et 16 = 4^2, donc 49x^2 - 16 = (7x - 4)(7x + 4). • Si l'un des carrés est une expression, garder des crochets avant de réduire. • Une somme de deux carrés comme x^2 + 16 ne se factorise pas avec cette identité.

Le cours

Notion 3ème • Factorisation avec l'identité remarquable a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Factorisation avec l'identité remarquable a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Différence de deux carrés : la factorisation à reconnaître au premier coup d'œil. Ce qu'il faut savoir •Formule : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). C'est l'identité (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 lue de droite à gauche. •Conditions : deux termes seulement, séparés par un signe moins, chacun étant un carré. •Exemples : x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) ; 4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5) ; 16x^2 - 49 = (4x)^2 - 7^2 = (4x - 7)(4x + 7). •L'ordre des deux facteurs n'a pas d'importance : (a - b)(a + b) = (a + b)(a - b). Pour aller plus loin : les carrés parfaits à trois termes Les identités (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 et (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 se lisent aussi de droite à gauche. Par exemple, x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 : les termes extrêmes sont des carrés (x^2 et 25 = 5^2) et le terme du milieu est bien le double produit 2 x 5 = 10x. La méthode complète est détaillée dans la notion « Stratégie globale pour choisir la méthode de factorisation adaptée ». Méthode pas à pas Étape 1 :Vérifier qu'il s'agit d'une différence (signe moins) de deux termes. Étape 2 :Écrire chaque terme comme un carré : 49x^2 = (7x)^2 et 16 = 4^2. Étape 3 :Écrire le produit (a - b)(a + b) ; si a ou b est une expression, garder des crochets. Étape 4 :Vérifier en testant une valeur de x dans les deux écritures. ⚠️ Piège à éviter Essayer de factoriser une somme de deux carrés : x^2 + 16 n'est pas égal à (x - 4)(x + 4), qui vaut x^2 - 16. 💡 L'astuce du prof Connais par cœur les carrés de 1 à 12 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.

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