Calcul algébrique d'antécédents par une fonction affine

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Pour déterminer l'antécédent de k par f(x) = ax + b, on résout l'équation ax + b = k. • Lorsque a 0, la solution est unique et vaut x = k - b/a. • Ne confondez pas le calcul d'une image (on remplace x) et celui d'un antécédent (on cherche x).

Le cours

1. Définition algébrique d'un antécédent Soit une fonction affine f définie par f(x) = ax + b avec a 0. Trouver l'antécédent d'un nombre réel k par la fonction f, c'est trouver la valeur de la variable x telle que son image soit égale à k, c'est-à-dire résoudre l'équation f(x) = k. Équation à résoudre : ax + b = k Solution unique : x = k - b/a 2. Méthode pas à pas La détermination d'un antécédent suit une méthode invariable en deux étapes : 1. Transposer le terme constant b dans le second membre en changeant son signe : ax = k - b. 2. Diviser par le coefficient directeur a non nul : x = k - b/a. Lorsque a 0, tout nombre réel k admet un antécédent et un seul par la fonction affine f. Graphiquement, cela correspond à l'abscisse du point d'intersection de la droite représentative de f avec la droite horizontale d'équation y = k. 3. Erreur fréquente L'erreur la plus classique consiste à calculer f(k) au lieu de chercher x tel que f(x) = k. Calculer f(k) donne l'image de k, et non son antécédent. Lisez très attentivement les énoncés pour distinguer l'ordre des calculs demandés.

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