Point d'intersection de deux droites et résolution algébrique de f(x) = g(x)

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• L'abscisse du point d'intersection de deux droites s'obtient en résolvant l'équation f(x) = g(x). • L'ordonnée s'obtient en calculant l'image de cette abscisse par f ou par g. • Si les coefficients directeurs sont égaux (a_1 = a_2), les droites sont parallèles.

Le cours

1. Interprétation graphique et algébrique de l'intersection Soit deux fonctions affines f(x) = a_1x + b_1 et g(x) = a_2x + b_2, représentées respectivement par deux droites (d_1) et (d_2) dans un repère. Si leurs coefficients directeurs sont distincts (a_1 a_2), les droites ne sont pas parallèles et se coupent en un point unique noté M(x_M\,;\,y_M). Abscisse du point d'intersection : solution de l'équation f(x) = g(x) Ordonnée du point d'intersection : image y = f(x_M) = g(x_M) 2. Méthode de calcul en deux temps Pour déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection de deux droites sans imprécision graphique : 1. Écrire l'égalité a_1x + b_1 = a_2x + b_2, regrouper les termes en x dans un membre et les termes constants dans l'autre, puis trouver x. 2. Remplacer la valeur trouvée dans l'une des expressions (et tester dans l'autre) pour obtenir l'ordonnée y. 3. Cas particuliers Si a_1 = a_2 et b_1 b_2, les droites sont strictement parallèles et l'équation f(x) = g(x) n'admet aucune solution : il n'y a aucun point d'intersection. Si a_1 = a_2 et b_1 = b_2, les deux droites sont confondues.

Dans ce chapitre

• Repérage dans le plan et lecture de coordonnées de 4ème
• Calcul d'images et d'antécédents à partir d'une formule littérale de 4ème
• Résolution algébrique d'équations simples du type ax + b = c de 4ème
• Définition d'une fonction affine : formule f(x) = ax + b
• Rôle des paramètres : coefficient directeur a (pente) et ordonnée à l'origine b
• Représentation graphique d'une fonction affine : droite du plan
• Détermination par le calcul du coefficient directeur a et de b
• Modélisation et résolution graphique de problèmes de comparaison de tarifs
• Sens de variation d'une fonction affine selon le signe du coefficient directeur
• Calcul algébrique d'antécédents par une fonction affine
• Point d'intersection de deux droites et résolution algébrique de f(x) = g(x)
• Choix du tarif avantageux par inéquations du premier degré
• Lecture graphique du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine
• Bilan : Synthèse et méthode sur les fonctions affines