Modélisation et résolution graphique de problèmes de comparaison de tarifs

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Tarif à l'unité = fonction linéaire ax. • Abonnement + séance = fonction affine cx + d. • Seuil d'égalité : résoudre ax = cx + d. • Plus économique = droite la plus basse.

Le cours

Notion 3ème • Modélisation et résolution graphique de problèmes de comparaison de tarifs Modélisation et résolution graphique de problèmes de comparaison de tarifs Modéliser deux offres tarifaires par des fonctions et trouver le seuil de rentabilité. Ce qu'il faut savoir •Problème classique : comparer un tarif proportionnel (formule f(x) = ax) et un abonnement avec tarif réduit (formule g(x) = cx + d). •Le seuil de rentabilité correspond au nombre de séances/achats x pour lequel les deux tarifs sont égaux : f(x) = g(x). •Graphiquement, ce seuil correspond à l'ABSCISSE du point d'intersection des deux droites. •Pour choisir le tarif le plus avantageux, on regarde quelle droite se situe le plus BAS sur le graphique. •Troisième offre type, le forfait illimité : un prix fixe K quel que soit x, modélisé par une fonction constante h(x) = K et représenté par une droite horizontale. •Les deux coordonnées du point d'intersection ont un sens : avec f(x) = 6x et g(x) = 4x + 30, l'équation 6x = 4x + 30 donne x = 15 et f(15) = 90 ; le point (15 ; 90) signifie que pour 15 séances, les deux tarifs coûtent 90\ €. •Avant toute lecture graphique, regarder l'échelle de chaque axe : un carreau ne vaut souvent pas la même chose en abscisse (par exemple 2 séances) et en ordonnée (par exemple 20\ €). •Le nombre de séances est entier : si l'inéquation donne x > 12,5, le tarif devient moins cher à partir de 13 séances. Méthode pas à pas Étape 1 :Exprimer chaque tarif en fonction du nombre x de séances ou d'articles. Étape 2 :Poser l'équation d'égalité des deux tarifs : ax = cx + d. Étape 3 :Résoudre l'équation pour trouver l'abscisse du point d'intersection. Étape 4 :Conclure selon le nombre de séances prévues (en dessous ou au-dessus du seuil). Étape 5 :Graphiquement : tracer les deux droites, lire l'abscisse du point d'intersection, puis repérer de chaque côté de ce point quelle droite est la plus basse. ⚠️ Piège à éviter Regarder l'ordonnée au lieu de l'abscisse pour la réponse : le seuil est le NOMBRE DE SÉANCES x (abscisse), pas le montant en euros (ordonnée). 💡 L'astuce du prof Le tarif le plus avantageux correspond toujours à la droite située en dessous (prix inférieur).

Dans ce chapitre

• Repérage dans le plan et lecture de coordonnées de 4ème
• Calcul d'images et d'antécédents à partir d'une formule littérale de 4ème
• Résolution algébrique d'équations simples du type ax + b = c de 4ème
• Définition d'une fonction affine : formule f(x) = ax + b
• Rôle des paramètres : coefficient directeur a (pente) et ordonnée à l'origine b
• Représentation graphique d'une fonction affine : droite du plan
• Détermination par le calcul du coefficient directeur a et de b
• Modélisation et résolution graphique de problèmes de comparaison de tarifs
• Sens de variation d'une fonction affine selon le signe du coefficient directeur
• Calcul algébrique d'antécédents par une fonction affine
• Point d'intersection de deux droites et résolution algébrique de f(x) = g(x)
• Choix du tarif avantageux par inéquations du premier degré
• Lecture graphique du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine
• Bilan : Synthèse et méthode sur les fonctions affines