Réciproque du théorème de Thalès en configuration papillon

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• En configuration papillon, les points A, O, B et C, O, D sont alignés dans le même ordre avec O au centre. • On compare séparément les quotients issus de l'intersection : OA/OB et OC/OD. • Si ces rapports sont égaux, la réciproque du théorème de Thalès prouve que (AC) // (BD).

Le cours

1. La configuration papillon (ou sablier) Dans la configuration papillon, deux droites sécantes en un point O portent deux segments qui se croisent en formant deux triangles opposés par le sommet : par exemple les droites (AB) et (CD) sécantes en O. Les points A, O, B sont alignés dans cet ordre, et les points C, O, D sont alignés dans cet ordre. Ordre d'alignement indispensable : A, O, B d'une part et C, O, D d'autre part. Le point d'intersection O est situé entre les deux sommets sur chaque droite. 2. Énoncé de la réciproque en configuration croisée Si les points A, O, B d'une part, et C, O, D d'autre part, sont alignés dans le même ordre, et si l'égalité des rapports issus du sommet commun O est vérifiée : OA/OB = OC/OD alors les droites (AC) et (BD) sont rigoureusement parallèles. 3. Erreur fréquente sur les rapports Tous les rapports doivent obligatoirement partir du point d'intersection O. Ne calculez jamais OA/AB ou AB/CD pour appliquer la réciproque : comparez toujours les distances du centre O vers les sommets du premier triangle et du centre O vers les sommets du second triangle.

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