Ordre des points alignés et contre-exemples dans la réciproque de Thalès

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• L'égalité des quotients ne suffit pas : les points doivent impérativement être alignés dans le même ordre. • Si l'ordre n'est pas le même, les droites peuvent être sécantes même avec des rapports égaux. • Toujours formuler explicitement la phrase d'alignement ordonné dans votre rédaction.

Le cours

1. Pourquoi la seule égalité des quotients ne suffit pas Une idée fausse très répandue consiste à croire que l'égalité AM/AB = AN/AC suffit à prouver que (MN) et (BC) sont parallèles. C'est faux : la condition géométrique sur l'ordre des points alignés est tout aussi fondamentale que l'égalité numérique. Les deux conditions indispensables de la réciproque de Thalès : 1. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre. 2. Les rapports de longueurs sont égaux : AM/AB = AN/AC. 2. Construction d'un contre-exemple Considérons un triangle ABC. Plaçons le point M sur le segment [AB] tel que AM = 1/2AB. Si l'on place le point N non pas sur la demi-droite [AC), mais sur la demi-droite opposée à partir de A avec AN = 1/2AC, les rapports sont identiques (AM/AB = AN/AC = 0,5). Pourtant, la droite (MN) coupe franchement la droite (BC) et ne lui est absolument pas parallèle ! L'ordre d'alignement n'étant pas respecté (M est entre A et B, mais A est entre N et C), la réciproque ne peut pas s'appliquer. 3. Rédaction type au Brevet Dans toute démonstration utilisant la réciproque de Thalès, vous devez expliciter clairement dès la première ligne : « Les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre ». Omettre cette phrase coûte systématiquement des points.

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