Ensembles de nombres fondamentaux (N, Z, D, Q, R)

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• N Z D Q R : chaque ensemble est contenu dans le suivant. • Le « plus petit ensemble » d'un nombre est le premier de la chaîne qui le contient, après simplification de son écriture. • 1/3 Q mais 1/3 D ; 2 et sont réels mais pas rationnels.

Le cours

🪆 Image mentale : Les poupées russes des mathématiques Tout comme une ville est dans un département, qui est dans une région, qui est dans un pays : chaque famille de nombres est entièrement contenue dans la suivante. Le nombre 5 est à la fois naturel, entier, décimal, rationnel et réel ! Hiérarchie d'inclusion : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ℝ (Réels : π, √2) ℚ (Rationnels : 1/3, -7/11) 𝔻 (Décimaux : 0,75, -2,4) ℤ (Entiers relatifs : -3, -8) ℕ (Naturels : 0, 1, 2, ...) Théorème d'inclusion fondamentale N Z D Q R Les cinq ensembles N : entiers naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; Z : entiers relatifs, c'est-à-dire les naturels et leurs opposés : ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; D : nombres décimaux, de la forme a/10^n avec a Z et n N (nombre fini de chiffres après la virgule) : -2,4 = -24/10. Q : nombres rationnels, quotients a/b avec a et b entiers relatifs, b 0 : 1/3, -7/11. R : nombres réels, abscisses de tous les points de la droite graduée ; ils comprennent les irrationnels comme 2 ou . On écrit x E (« x appartient à E ») ou x E : par exemple -3 Z mais -3 N. Méthode : trouver le plus petit ensemble 1. Simplifier l'écriture du nombre : 12/-4 = -3 ; 25 = 5. 2. Parcourir la chaîne N, Z, D, Q, R dans cet ordre et s'arrêter au premier ensemble qui contient le nombre. 3. Justifier : pour D, trouver une écriture a/10^n ; pour Q, une fraction d'entiers.

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