Décomposition en produit de facteurs premiers et applications

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Tout entier n 2 se décompose de façon unique (à l'ordre près) en produit de nombres premiers. • Méthode : diviser successivement par 2, 3, 5, 7, 11… jusqu'à obtenir le quotient 1. • PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant. • Pour savoir si n est premier, il suffit d'essayer les nombres premiers p tels que p^2 n.

Le cours

1. Théorème fondamental de l'arithmétique Tout entier naturel n 2 s'écrit de manière unique (à l'ordre des facteurs près) sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers : n = p_1^_1 p_2^_2 p_k^_k où p_1 2. Méthode pratique de décomposition en cascade On teste successivement la divisibilité par les nombres premiers dans l'ordre croissant (2, 3, 5, 7, 11, ) jusqu'à obtenir un quotient égal à 1. Exemple pour 360 : 360 2 = 180 180 2 = 90 90 2 = 45 45 3 = 15 15 3 = 5 5 5 = 1 D'où : 360 = 2^3 3^2 5. 3. Applications directes au lycée Simplification de fractions : Pour rendre 360/840 irréductible, on décompose : 2^3 3^2 5/2^3 3 5 7 = 3/7. Simplification de radicaux : 360 = 2^2 2 3^2 5 = 2 3 2 5 = 610. PGCD et PPCM : le PGCD est le produit des facteurs communs munis du plus petit exposant, le PPCM celui de tous les facteurs munis du plus grand exposant. Pour 360 et 840 : PGCD = 2^3 3 5 = 120, et l'on retrouve 360/840 = 360 120/840 120 = 3/7.

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