Nombres rationnels et fractions irréductibles

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Q est l'ensemble des quotients a/b avec a Z et b Z, b 0. • a/b est irréductible lorsque PGCD(a ; b) = 1 ; on l'obtient en divisant a et b par leur PGCD. • L'écriture décimale d'un rationnel est finie ou périodique : 1/7 = 0,142857\,142857

Le cours

1. L'ensemble des nombres rationnels Q Un nombre rationnel est un nombre réel qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers relatifs : Q = \ a/b \;|\; a Z, b Z^* \ L'écriture décimale d'un nombre rationnel est soit finie (décimal), soit infinie et périodique à partir d'un certain rang (ex. 1/7 = 0,142857\,142857). 2. Fraction irréductible et PGCD Une fraction a/b est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux, c'est-à-dire que PGCD(a, b) = 1. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, ou on simplifie à l'aide de leurs décompositions en facteurs premiers. 3. Propriétés d'inclusion N Z D Q R Tout entier est un rationnel (5/1), tout décimal est un rationnel (0,25 = 1/4), mais certains réels ne sont pas rationnels (les irrationnels comme 2, ).

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