Divisibilité, multiples et critères

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• a divise b (a 0) s'il existe k Z tel que b = k a : le reste de la division euclidienne de b par a est nul. • Pair : n = 2k ; impair : n = 2k + 1, avec k Z. • Si d divise a et b, alors d divise aussi a + b et a - b.

Le cours

1. Relation de divisibilité dans Z Soient a, b Z. On dit que a divise b, noté a b, s'il existe un entier k Z tel que : b = k a On dit indifféremment que a est un diviseur de b, que b est un multiple de a, ou que b est divisible par a. 2. Parité des entiers Un entier n est pair s'il s'écrit n = 2k avec k Z. Un entier n est impair s'il s'écrit n = 2k + 1 avec k Z. Le produit de deux entiers impairs est toujours impair : (2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1. Le carré d'un entier a la même parité que cet entier : n^2 est pair n est pair. 3. Propriétés algébriques de la divisibilité Si un entier d divise deux entiers a et b, alors d divise aussi toute combinaison linéaire a + b, a - b et u a + v b pour tous entiers u, v Z. 4. Critères usuels et preuve par la parité Par 2, 5 ou 10 : on regarde le chiffre des unités. Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres (1\,316 est divisible par 4 car 16 = 4 4). Par 3 ou 9 : la somme des chiffres. Par 6 : à la fois par 2 et par 3. Pour 7, aucun critère simple : on pose la division. Exemple de preuve : la somme de deux entiers impairs est paire, car (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1).

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