Nombres irrationnels et irrationalité de sqrt(2)

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Un irrationnel est un réel qui ne s'écrit pas a/b avec a et b entiers (b 0) : 2, 3, . • 2 Q se démontre par l'absurde, raisonnement connu depuis l'Antiquité grecque : on suppose 2 = p/q irréductible et on montre que p et q seraient tous deux pairs. • Rationnel + irrationnel, rationnel non nul irrationnel : le résultat est toujours irrationnel.

Le cours

🔍 Définition : Les hors-la-loi des fractions Un nombre est irrationnel s'il est réel mais ne peut pas s'écrire sous forme de fraction a/b avec a et b entiers (b 0). Son écriture décimale est infinie et sans motif périodique. Exemples célèbres : 2, 3, . Démonstration au programme : 2 Q Hypothèse absurde : Supposons que 2 = p/q avec p/q fraction irréductible (p et q premiers entre eux). Élévation au carré : 2 = p^2/q^2 p^2 = 2q^2. Donc p^2 est pair, ce qui implique que p est pair (p = 2k). Substitution : (2k)^2 = 2q^2 4k^2 = 2q^2 q^2 = 2k^2. Donc q^2 est pair, ce qui implique que q est pair. Contradiction finale : Si p et q sont tous les deux pairs, ils sont divisibles par 2 : cela contredit le fait que la fraction était irréductible ! L'hypothèse est donc fausse : 2 est irrationnel. Calculer avec des irrationnels La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle : 2 + 3 Q. Le produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est irrationnel : 53 Q. En revanche, deux irrationnels peuvent donner un rationnel : 2 2 = 2 et (1 + 2) + (1 - 2) = 2. Pour reconnaître un rationnel déguisé, on simplifie d'abord : 36 = 6 et 9/4 = 3/2.

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