Critères de divisibilité, diviseurs et nombres premiers de Collège

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• b est un diviseur de a s'il existe un entier k tel que a = k b. • Divisible par 2 : chiffre des unités pair ; par 5 : 0 ou 5 ; par 10 : 0 ; par 3 ou 9 : somme des chiffres multiple de 3 ou de 9 ; par 4 : deux derniers chiffres formant un multiple de 4. • Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même : 1 n'est pas premier, 2 est le seul nombre premier pair.

Le cours

1. Diviseurs et multiples élémentaires Soient a et b deux entiers relatifs (b 0). On dit que b est un diviseur de a (ou que a est un multiple de b) s'il existe un entier k tel que : a = k b (k Z) Exemple : 18 = 3 6, donc 6 et 3 sont des diviseurs de 18. L'ensemble des diviseurs positifs de 18 est D_18 = \1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18\. 2. Critères de divisibilité indispensables Un entier naturel est divisible par : 2 : si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8). 3 : si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 3 (ex. 714 7+1+4=12). 4 : si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 (ex. 3\,524). 5 : si son chiffre des unités est 0 ou 5. 9 : si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 (ex. 1\,458 1+4+5+8=18). 10 : si son chiffre des unités est 0. 3. Définition d'un nombre premier Un entier naturel est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Attention : 1 n'est PAS un nombre premier car il n'admet qu'un seul diviseur (lui-même). Le seul nombre premier pair est 2. Les 10 premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

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