Recherche algébrique d'antécédents

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Chercher les antécédents de k par f, c'est résoudre l'équation f(x) = k, d'inconnue x. • Chaque solution qui appartient à D_f est un antécédent : on écarte les valeurs interdites. • Selon l'équation, k peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Le cours

⚡ Le Duel décisif : Quelle opération faire ? Question posée Action mathématique Outil utilisé Calculer l'image de k On remplace x par k Simple calcul numérique f(k) Trouver les antécédents de k On cherche les x tels que f(x) = k Résolution d'équation La méthode en 3 étapes 1. Poser l'équation : Écrire formellement f(x) = k. 2. Identifier le type d'équation : Premier degré : isoler x. Avec un terme en x^2 : tout passer à gauche f(x) - k = 0, puis factoriser pour obtenir une équation produit nul. 3. Valider avec l'ensemble de définition : Vérifier qu'aucune solution n'est une valeur interdite de D_f. 💡 Une fonction peut n'avoir aucun antécédent pour un nombre donné (par exemple, x^2 = -4 n'a aucune solution réelle), ou en avoir un, deux, ou davantage ! Exemple complet Soit f(x) = x^2 + 1. Antécédents de 10 : x^2 + 1 = 10 x^2 - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0, donc x = 3 ou x = -3. Antécédents de 0 : x^2 + 1 = 0 x^2 = -1, impossible car un carré est positif ou nul : 0 n'a aucun antécédent. On vérifie toujours en calculant l'image : f(3) = f(-3) = 9 + 1 = 10.

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