Fonction inverse : équations et inéquations

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Pour k 0, l'équation 1/x = k a une seule solution : x = 1/k ; l'équation 1/x = 0 n'a aucune solution. • On ne multiplie jamais une inéquation par x sans connaître son signe. • Méthode : se ramener à un quotient comparé à 0, comme 1 - kx/x 0, puis dresser un tableau de signes avec une double barre en 0.

Le cours

🚨 Détective d'erreurs : Le piège mortel de la multiplication par x Pour résoudre 1/x 2, un élève écrit : « On multiplie par x, donc 1 2x, soit x 1/2 ». C'EST ARCHI-FAUX ! Si x est négatif (par exemple x = -1), on a 1/-1 = -1 2, ce qui est vrai ! L'élève a oublié toute la partie négative car il ne connaît pas le signe de x pour inverser ou non le sens de l'inégalité. La bonne réponse est S = \,]- ; 0[ [1/2 ; +[. Méthode sûre en 3 étapes Tout basculer à gauche : Faire apparaître 0 à droite : 1/x - k 0. Mettre au même dénominateur : Obtenir une seule fraction quotient : 1 - kx/x 0. Dresser un tableau de signes : Étudier le signe du numérateur, du dénominateur (avec la double barre en 0 !), puis conclure. Autre méthode : lire sur l'hyperbole 1. Tracer la courbe de x 1/x et la droite horizontale y = k. 2. Pour k > 0, elles se coupent au point d'abscisse 1/k ; pour 1/x 2, c'est x = 1/2. 3. Lire les abscisses des points de l'hyperbole situés sous la droite : toute la branche x < 0 et la partie x 1/2.

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