Comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Pour x [0 ; 1] : x^3 x^2 x x. • Pour x [1 ; +[ : x x x^2 x^3. • Les courbes de x, x^2, x^3 et x passent toutes par (0 ; 0) et (1 ; 1).

Le cours

⚡ Le grand piège : Élever au carré ne fait PAS toujours grandir ! Si vous prenez un nombre entre 0 et 1 comme 0,5 : • Son cube vaut : 0,5^3 = 0,125 (il a rétréci !) • Son carré vaut : 0,5^2 = 0,25 • Sa racine vaut : 0,5 0,707 (elle est plus grande que lui !) Sur [0 ; 1], l'ordre habituel est complètement inversé ! Le point de croisement pivot (1 ; 1) x y 1 1 √x y = x x² x³ (1 ; 1) Les 2 inégalités fondamentales du programme 1. Pour tout x [0 ; 1] (La racine domine) : x^3 x^2 x x 2. Pour tout x [1 ; +[ (Les puissances dominent) : x x x^2 x^3 Méthode : comparer deux expressions 1. Étudier le signe de leur différence, puis factoriser : x^3 - x^2 = x^2(x - 1). 2. Sur [0 ; 1], x^2 0 et x - 1 0, donc x^3 - x^2 0 : x^3 x^2. 3. Sur [1 ; +[, x - 1 0, donc x^3 x^2. Le point de bascule est toujours x = 1.

Dans ce chapitre

• Fonctions linéaires et proportionnalité
• Pourcentages d'évolution et coefficients multiplicateurs
• Équations du premier degré et résolution de ax + b = 0 de Troisième
• Fonctions affines et linéaires : définitions
• Sens de variation et graphe d'une fonction affine
• Signe d'une fonction affine et racine
• Fonction carré : propriétés et parabole
• Fonction carré : variations et inéquations
• Fonction inverse : hyperbole et variations
• Fonction inverse : équations et inéquations
• Fonction racine carrée
• Fonction cube
• Comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions de référence