Caractérisation des triangles isocèles et équilatéraux

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Isocèle en A : AB = AC, ce qui équivaut à AB^2 = AC^2. • Équilatéral : AB^2 = AC^2 = BC^2. • C sommet principal du triangle isocèle ABC C est sur la médiatrice de [AB].

Le cours

📐 Triangle Isocèle Deux côtés ont exactement la même longueur : AB^2 = AC^2 AB = AC Le triangle est isocèle en A. 🔺 Triangle Équilatéral Les trois côtés ont la même longueur : AB^2 = BC^2 = CA^2 Les trois angles mesurent chacun 60^. Définitions en repère orthonormé • ABC est isocèle en A si AB = AC, ce qui équivaut à AB^2 = AC^2 puisque des longueurs sont positives. A est le sommet principal, [BC] la base. • ABC est équilatéral si AB = AC = BC : deux égalités suffisent, par exemple AB^2 = AC^2 et AB^2 = BC^2. • C est le sommet principal d'un triangle isocèle ABC si et seulement si C est sur la médiatrice de [AB]. Méthode et mini-exemple 1. Calculer AB^2, AC^2 et BC^2 avec la formule de la distance. 2. Repérer les carrés égaux et nommer le sommet commun aux deux côtés égaux. 3. Tester aussi la réciproque de Pythagore : le triangle est peut-être en plus rectangle. Exemple : A(0 ; 0), B(4 ; 1), C(1 ; 4). AB^2 = 16 + 1 = 17, AC^2 = 1 + 16 = 17 et BC^2 = 9 + 9 = 18. Le triangle est isocèle en A ; le plus grand carré est BC^2 = 18 et 17 + 17 = 34 18, donc il n'est pas rectangle. Attention Deux côtés égaux ne suffisent pas à conclure « équilatéral », et trouver AB^2 = AC^2 ne dit rien de BC : il faut calculer les trois longueurs avant de nommer la nature du triangle.

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