Propriétés métriques du losange, rectangle et carré en repère orthonormé

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Rectangle ABCD : AC^2 = BD^2 et AB^2 + BC^2 = AC^2. • Losange ABCD de centre O : quatre côtés égaux et AB^2 = OA^2 + OB^2 (diagonales perpendiculaires). • Carré de côté c : diagonale c2, c'est-à-dire AC^2 = 2c^2.

Le cours

La démonstration qu'un quadrilatère est un losange, un rectangle ou un carré en repère orthonormé s'effectue en deux temps : prouver d'abord qu'il s'agit d'un parallélogramme (par l'égalité des milieux des diagonales), puis vérifier une propriété métrique spécifique sur les côtés ou les diagonales. 1. Rectangle Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu O : OA = OB = OC = OD, et O est le centre du cercle passant par les quatre sommets. Dans le triangle ABC rectangle en B : AC^2 = AB^2 + BC^2. 2. Losange Les quatre côtés d'un losange ont la même longueur. Ses diagonales se coupent en leur milieu O et sont perpendiculaires, donc le triangle OAB est rectangle en O : AB^2 = OA^2 + OB^2 = (AC/2)^2 + (BD/2)^2 Aire = AC BD/2 3. Carré Un carré de côté c a des diagonales de longueur c2, soit AC^2 = 2c^2, et une aire égale à c^2 = AC^2/2. 4. Attention Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur n'est pas forcément un carré : il faut aussi qu'elles aient le même milieu. Et quatre côtés égaux donnent un losange, pas un carré, tant que l'angle droit n'est pas prouvé.

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