Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Définition géométrique : A' est le symétrique de A par rapport à I si et seulement si I est le milieu de [AA']. • Relations algébriques : x_I = x_A + x_A'2 x_A' = 2x_I - x_A y_I = y_A + y_A'2 y_A' = 2y_I - y_A

Le cours

La symétrie centrale par rapport à un point I transforme un point A en un point A' tel que I soit le milieu exact du segment [AA']. La détermination des coordonnées de A' découle directement de la formule des coordonnées du milieu. 1. Définition et formules Le symétrique de A par rapport à I est le point A' tel que I soit le milieu de [AA'] (si A = I, alors A' = I). D'après la formule du milieu, x_I = x_A + x_A'2, donc : x_A' = 2x_I - x_A et y_A' = 2y_I - y_A 2. Deux méthodes équivalentes 1. Par la formule : avec A(3 ; -1) et I(1 ; 2), x_A' = 2 1 - 3 = -1 et y_A' = 2 2 - (-1) = 5, d'où A'(-1 ; 5). 2. Par le déplacement : de A à I, on se déplace de -2 en abscisse et de +3 en ordonnée ; on refait ce déplacement depuis I : (1 - 2 ; 2 + 3) = (-1 ; 5). 3. Vérification : le milieu de [AA'] est (3 - 1/2 ; -1 + 5/2) = (1 ; 2), c'est bien I. 3. Attention Symétrie centrale et symétrie axiale ne donnent pas le même point : le symétrique de A(3 ; -1) par rapport à l'origine est (-3 ; 1), alors que son symétrique par rapport à l'axe des abscisses (repère orthogonal) est (3 ; 1).

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