Propriétés des triangles particuliers et médiatrice de Troisième

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Triangle isocèle : Deux côtés de même longueur. L'axe de symétrie est la médiatrice de la base. • Triangle équilatéral : Trois côtés de même longueur. Chaque angle mesure 60^. • Triangle rectangle (Théorème de Pythagore) : ABC rectangle en A BC^2 = AB^2 + AC^2. • Médiatrice d'un segment : Ensemble des points équidistants des extrémités du segment (MA = MB).

Le cours

En géométrie repérée, la caractérisation d'un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle repose sur la combinaison des calculs de longueurs et des propriétés géométriques fondamentales apprises au collège. 1. Triangles particuliers (rappels du collège) • Isocèle en A : AB = AC. Les angles à la base B et C sont égaux et la médiatrice de la base [BC] passe par A : c'est l'axe de symétrie du triangle. • Équilatéral : AB = AC = BC. Ses trois angles mesurent 60^ et il possède trois axes de symétrie. • Rectangle en A : BC^2 = AB^2 + AC^2 (théorème de Pythagore et sa réciproque). Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC]. 2. Médiatrice d'un segment La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB]. Propriété caractéristique : un point M est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB. 3. Méthode en géométrie repérée 1. Calculer les carrés des trois longueurs AB^2, AC^2 et BC^2. 2. Deux carrés égaux : triangle isocèle ; trois carrés égaux : équilatéral. 3. Carré du plus grand côté égal à la somme des deux autres : triangle rectangle. 4. Attention Un triangle peut cumuler deux natures : avec AB^2 = AC^2 = 8 et BC^2 = 16 = 8 + 8, le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. Inversement, MA = MB ne donne un vrai triangle isocèle que si M n'est pas le milieu de [AB].

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