Équation d'un cercle en repère orthonormé

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Cercle de centre (x_0 ; y_0) et de rayon R : M(x ; y) C M^2 = R^2 (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2. • Signes : (x + 2)^2 = (x - (-2))^2, l'abscisse du centre est alors -2. • Position d'un point : M^2 R^2 (extérieur).

Le cours

1. Définition et équation cartésienne Dans un repère orthonormé (O ; i, j), le cercle C de centre (x_0 ; y_0) et de rayon R > 0 est l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant M = R, soit : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 Cas particulier : le cercle centré à l'origine O(0 ; 0) a pour équation x^2 + y^2 = R^2. 2. Lecture directe du centre et du rayon Soit l'équation (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 : x_0 = 3 et y_0 = -2 (attention au changement de signe : y + 2 = y - (-2)). Le rayon est R = 25 = 5. Le centre est donc (3 ; -2) et le rayon R = 5. 3. Appartenance et position d'un point Pour tester si un point A(x_A ; y_A) appartient au cercle, on calcule d^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 : • Si d^2 = R^2, le point A est sur le cercle. • Si d^2 à l'intérieur du disque. • Si d^2 > R^2, le point A est à l'extérieur.

Dans ce chapitre

• Repère orthogonal et coordonnées d'un point
• Théorème de Pythagore et distances
• Propriétés des triangles particuliers et médiatrice de Troisième
• Repères du plan : quelconques, orthogonaux et orthonormés
• Coordonnées du milieu d'un segment
• Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre
• Distance entre deux points en repère orthonormé
• Caractérisation d'un triangle rectangle (Pythagore)
• Caractérisation des triangles isocèles et équilatéraux
• Caractérisation d'un parallélogramme par ses diagonales
• Reconnaissance des quadrilatères particuliers (losange, rectangle, carré)
• Propriétés métriques du losange, rectangle et carré en repère orthonormé
• Équation d'un cercle en repère orthonormé
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie repérée et configurations du plan