Multiplication d'un vecteur par un réel

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• ku a la même direction que u ; même sens si k > 0, sens contraire si k < 0. • Norme : \|ku\| = |k| \|u\| ; coordonnées : ku(kx ; ky). • Multiplier par -1 donne l'opposé : (-1)AB = BA.

Le cours

Effet du coefficient k sur le vecteur u • Direction : Toujours la même direction (droites supports parallèles). • Sens : Si k > 0 : même sens que u. Si k sens opposé à u. • Norme : La longueur est multipliée par |k| : \|ku\| = |k| \|u\|. Définition et coordonnées Pour un réel k et un vecteur u, le vecteur ku est défini par les règles ci-dessus ; si k = 0 ou u = 0, alors ku = 0. Dans un repère, si u(x ; y), alors ku(kx ; ky). Exemple : u(2 ; -3) donne -3u(-6 ; 9). Construire un point défini par AC = kAB 1. Tracer la droite (AB) : C est dessus, car AC a la direction de AB. 2. Si k > 0, placer C du côté de B par rapport à A ; si k 3. Reporter la longueur AC = |k| AB. Exemple : AC = 3AB place C sur la demi-droite [AB) avec AC = 3AB ; AD = -1/2AB place D de l'autre côté de A, avec AD = AB/2. Attention Le coefficient change la longueur et éventuellement le sens, jamais la direction : ku et u sont toujours portés par des droites parallèles. Deux vecteurs liés ainsi sont dits colinéaires.

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