Norme d'un vecteur par ses coordonnées

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Repère orthonormé : \|u\| = x^2 + y^2 pour u(x ; y). • \|AB\| = AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. • Les coordonnées sont élevées au carré : leur signe ne change pas la norme.

Le cours

1. Définition et formule en repère orthonormé Dans un repère orthonormé (O ; i, j), la norme d'un vecteur u(x ; y), notée \|u\|, représente la longueur d'un représentant de ce vecteur. Elle est donnée par : \|u\| = x^2 + y^2 Si u = AB avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors : AB = \|AB\| = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 2. Propriétés fondamentales de la norme Positivité : Pour tout vecteur u, on a \|u\| 0. Vecteur nul : \|u\| = 0 u = 0. Multiplication par un scalaire : Pour tout réel k, \|ku\| = |k| \|u\|. Inégalité triangulaire : \|u + v\| \|u\| + \|v\|. 3. Point méthode : Repère orthonormé impératif Cette formule découle directement du théorème de Pythagore dans le repère. Elle n'est valable QUE si le repère est orthonormé (axes perpendiculaires et unités de même longueur sur les deux axes).

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