Construction géométrique d'une combinaison linéaire de vecteurs

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Produit par un réel k : Le vecteur ku a la même direction que u. Son sens est le même si k > 0, opposé si k < 0. Sa longueur est multipliée par |k|. • Somme par Chasles : Pour construire u + v, on trace un représentant de v dont l'origine coïncide avec l'extrémité de u. • Coordonnées analytiques : Si upmatrix x \\ y pmatrix et vpmatrix x' \\ y' pmatrix, alors ku + k'v pmatrix kx + k'x' \\ ky + k'y' pmatrix.

Le cours

La combinaison linéaire de vecteurs consiste à construire géométriquement ou par coordonnées un vecteur de la forme w = ku + k'v, en appliquant successivement les règles de multiplication par un réel et de mise bout à bout (relation de Chasles). 1. Définition Une combinaison linéaire des vecteurs u et v est un vecteur de la forme w = au + bv, où a et b sont deux réels. Par exemple 2u - v ou 1/2u + 3v. 2. Construction pas à pas 1. Choisir un point de départ O. 2. Tracer OP = au : longueur multipliée par |a|, sens inversé si a 3. Depuis P, tracer PQ = bv. 4. Par la relation de Chasles, OQ = au + bv = w. Exemple sur quadrillage : u(1 ; 2), v(3 ; -1) et w = 2u - v. Depuis O(0 ; 0), 2u mène en P(2 ; 4), puis -v (3 carreaux à gauche, 1 vers le haut) mène en Q(-1 ; 5) : w(-1 ; 5). Par le calcul : 2 1 - 3 = -1 et 2 2 - (-1) = 5. 3. Points de vigilance L'ordre de construction n'a pas d'importance : tracer d'abord bv puis au mène au même point (règle du parallélogramme). Une soustraction se construit en traçant le vecteur opposé, et les longueurs ne s'additionnent pas.

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