Vecteur directeur d'une droite

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Vecteur directeur de d : tout vecteur non nul AB, avec A et B deux points distincts de d. • Équation ax + by + c = 0 : u(-b ; a) dirige la droite (attention au signe moins ; ce n'est pas (a ; b)). • Équation y = mx + p : u(1 ; m) ; tout vecteur ku avec k 0 convient aussi.

Le cours

🧭 Situation concrète : Le cap d'un bateau Un bateau qui maintient un cap rectiligne se déplace selon un vecteur directeur. Peu importe sa vitesse ou son point de départ : la droite suivie est entièrement orientée par ce vecteur directeur. Définition Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur non nul AB, où A et B sont deux points distincts de d. Si u est un vecteur directeur de d, les autres vecteurs directeurs de d sont les vecteurs ku avec k 0 : ce sont les vecteurs non nuls colinéaires à u. Une droite est donc déterminée par un point et un vecteur directeur : M appartient à la droite passant par A et dirigée par u si et seulement si AM et u sont colinéaires. Tout vecteur non nul parallèle à la droite est un vecteur directeur (d) u v = k·u Extraction immédiate selon l'équation 1. Équation cartésienne : ax + by + c = 0 u pmatrix -b \\ a pmatrix 2. Équation réduite : y = mx + p u pmatrix 1 \\ m pmatrix Pourquoi ces deux formules 1. Pour y = mx + p : les points A(0 ; p) et B(1 ; m + p) sont sur la droite, donc AB(1 ; m) la dirige. 2. Pour ax + by + c = 0 : si M_0(x_0 ; y_0) est sur la droite, le point (x_0 - b ; y_0 + a) l'est aussi, car a(x_0 - b) + b(y_0 + a) + c = ax_0 + by_0 + c = 0. Le vecteur (-b ; a) joint ces deux points. 3. Mini-exemple : d : 2x + 5y - 1 = 0 est dirigée par u(-5 ; 2). En partant du point (3 ; -1) de d, on obtient le point (-2 ; 1), qui est bien sur d : -4 + 5 - 1 = 0.

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