Interprétation graphique du nombre de solutions d'un système linéaire

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Droites sécantes (1 solution unique) : Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (ab' - a'b 0). Le système admet un couple solution unique (x ; y), point d'intersection des deux droites. • Droites strictement parallèles (0 solution) : Les vecteurs directeurs sont colinéaires mais les équations ne sont pas proportionnelles : les droites n'ont aucun point commun. Le système est impossible : S = . • Droites confondues (infinité de solutions) : Les deux équations sont proportionnelles. Tout point de la droite est solution.

Le cours

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient géométriquement à chercher les points d'intersection de deux droites D_1 et D_2. Selon la colinéarité de leurs vecteurs directeurs, le système admet 0, 1 ou une infinité de solutions. Les trois cas possibles On considère le système formé des équations ax + by = c et a'x + b'y = c'. Le nombre ab' - a'b est le déterminant des vecteurs directeurs u(-b ; a) et v(-b' ; a') des deux droites : • ab' - a'b 0 : droites sécantes, le système a une unique solution, les coordonnées du point d'intersection ; • ab' - a'b = 0 et équations non proportionnelles : droites strictement parallèles, aucune solution ; • ab' - a'b = 0 et équations proportionnelles : droites confondues, une infinité de solutions. Méthode 1. Calculer ab' - a'b avec les coefficients de x et de y. 2. S'il est non nul, résoudre le système (substitution ou combinaison) : il y a une seule solution. 3. S'il est nul, chercher le réel k tel que les coefficients de x et de y de la seconde équation soient k fois ceux de la première, puis comparer les seconds membres. Mini-exemple : pour x - 2y = 3 et 3x - 6y = 4, on a 1 (-6) - 3 (-2) = 0 ; trois fois la première équation donne 3x - 6y = 9, et 9 4 : aucune solution.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines et expressions f(x) = ax + b
• Tracé et lecture graphique d'une droite affine
• Équations de droites parallèles aux axes de coordonnées de Troisième
• Vecteur directeur d'une droite
• Équation cartésienne d'une droite
• Équation réduite d'une droite
• Passage de l'équation cartésienne à l'équation réduite et réciproquement
• Détermination de l'équation d'une droite passant par deux points
• Droites parallèles et sécantes
• Point d'intersection de deux droites sécantes
• Résolution de systèmes 2 2 par substitution
• Résolution de systèmes 2 2 par combinaison linéaire
• Interprétation graphique du nombre de solutions d'un système linéaire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Droites du plan et systèmes linéaires