Équation cartésienne d'une droite

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Toute droite admet une équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0), et u(-b ; a) en est un vecteur directeur. • Une droite possède une infinité d'équations cartésiennes : multiplier tous les coefficients par un même réel non nul (par exemple 2 ou -1) donne la même droite. • Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.

Le cours

Théorème fondamental Toute droite du plan (qu'elle soit oblique, horizontale ou verticale) admet une équation cartésienne de la forme : ax + by + c = 0 où a et b ne sont pas simultanément nuls ((a, b) (0, 0)). Comment trouver l'équation avec un point A et un vecteur directeur u ? Un point M(x ; y) appartient à la droite si et seulement si AM et u sont colinéaires : (AM ; u) = 0 (x - x_A)y_u - (y - y_A)x_u = 0 D'où vient la forme cartésienne Soit d la droite passant par A(x_A ; y_A) et dirigée par u( ; ). En développant (AM, u) = (x - x_A) - (y - y_A) = 0, on obtient x - y + ( y_A - x_A) = 0 : c'est une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a = et b = -, qui ne sont pas tous deux nuls. Réciproquement, l'ensemble des points vérifiant ax + by + c = 0 est une droite dirigée par u(-b ; a). Mini-exemple : pour A(1 ; 2) et u(3 ; -1), on obtient (x - 1) (-1) - (y - 2) 3 = 0, soit -x - 3y + 7 = 0, ou encore x + 3y - 7 = 0. Contrôle : 1 + 3 2 - 7 = 0. Attention Deux équations décrivent la même droite seulement si tous leurs coefficients sont proportionnels, constante comprise : x + 3y - 7 = 0 et 2x + 6y - 14 = 0 décrivent la même droite, mais 2x + 6y - 7 = 0 décrit une droite parallèle distincte (le point (1 ; 2) donne 2 + 12 - 7 = 7 0).

Dans ce chapitre