Point d'intersection de deux droites sécantes

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes forment l'unique solution du système de leurs deux équations. • Pour y = m_1x + p_1 et y = m_2x + p_2 avec m_1 m_2 : on résout m_1x + p_1 = m_2x + p_2, puis on calcule y avec l'une des équations. • Le point trouvé doit vérifier les deux équations.

Le cours

Le point I(x_I ; y_I) vérifie simultanément les deux équations (d1) (d2) I(xI ; yI) Méthode en 3 étapes Égaliser les expressions de y : Poser m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2. Isoler l'abscisse x_I : Résoudre l'équation du premier degré pour trouver x_I. Calculer l'ordonnée y_I : Remplacer x_I dans l'une des deux équations initiales. Lien avec un système Les coordonnées (x_I ; y_I) du point d'intersection de d_1 et d_2 forment l'unique solution du système constitué par leurs deux équations. Ce point existe et est unique dès que les droites sont sécantes, c'est-à-dire lorsque leurs coefficients directeurs sont différents (ou leurs vecteurs directeurs non colinéaires). Cas d'une droite verticale ou d'une équation cartésienne 1. Si l'une des droites a pour équation x = k, on remplace directement x par k dans l'autre équation. 2. Si une équation est cartésienne, on y remplace y par l'expression donnée par l'autre droite, ou l'on combine les deux équations. 3. Mini-exemple : d_1 : y = 3x - 2 et d_2 : x + y - 6 = 0. En remplaçant y : x + 3x - 2 - 6 = 0, donc x = 2, puis y = 3 2 - 2 = 4 : I(2 ; 4), et 2 + 4 - 6 = 0. Attention Avant de calculer, on vérifie que les droites sont sécantes : si elles ont le même coefficient directeur, l'équation en x mène à une égalité impossible (droites strictement parallèles) ou toujours vraie (droites confondues).

Dans ce chapitre

• Fonctions affines et expressions f(x) = ax + b
• Tracé et lecture graphique d'une droite affine
• Équations de droites parallèles aux axes de coordonnées de Troisième
• Vecteur directeur d'une droite
• Équation cartésienne d'une droite
• Équation réduite d'une droite
• Passage de l'équation cartésienne à l'équation réduite et réciproquement
• Détermination de l'équation d'une droite passant par deux points
• Droites parallèles et sécantes
• Point d'intersection de deux droites sécantes
• Résolution de systèmes 2 2 par substitution
• Résolution de systèmes 2 2 par combinaison linéaire
• Interprétation graphique du nombre de solutions d'un système linéaire
• Bilan : Synthèse et méthode sur Droites du plan et systèmes linéaires