Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Affixe d'un point** : M(x, y) z_M = x + iy. • **Affixe d'un vecteur** : pour AB, z_AB = z_B - z_A. • **Distance** : AB = \|AB\| = |z_B - z_A|. • **Milieu d'un segment** : z_I = z_A + z_B/2.

Le cours

1. Coordonnées d'un point et d'un vecteur Dans un repère orthonormé (O ; i, j) du plan, chaque point M est repéré par un unique couple de coordonnées (x ; y) : x est l'abscisse, y l'ordonnée. Le vecteur OM a les mêmes coordonnées que le point M. Pour deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), on calcule « extrémité moins origine » : ABpmatrix x_B - x_A \\ y_B - y_A pmatrix Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées : c'est ce qui permet de traduire « ABCD est un parallélogramme » par AB = DC. 2. Milieu et distance Le milieu I de [AB] a pour coordonnées I(x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2). Dans un repère orthonormé uniquement, la distance AB se calcule par le théorème de Pythagore : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 Mini-exemple : pour A(1 ; 2) et B(4 ; 6), on obtient AB(3 ; 4), AB = 9 + 16 = 5 et I(2,5 ; 4). 3. Le pont vers les nombres complexes En Mathématiques expertes, le point M(x ; y) et le vecteur OM ont pour affixe le nombre complexe z = x + iy. Toutes les formules de Seconde se transposent : l'affixe de AB est z_B - z_A, celle du milieu est z_A + z_B/2 et la distance AB devient le module |z_B - z_A|. 4. Attention On soustrait toujours les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : BA a des coordonnées opposées à celles de AB. La formule de distance n'est valable que dans un repère orthonormé.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations