Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Discriminant** : = b^2 - 4ac. • **Forme canonique** : ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - /4a. • **Lien avec C** : si 0, on pose = i- de sorte que ^2 = -(-) = . Les deux racines complexes conjuguées sont : z_1 = -b - i-2a et z_2 = -b + i-2a

Le cours

1. Forme canonique d'un trinôme Pour un trinôme P(x) = ax^2 + bx + c avec a 0, on pose = b^2 - 4ac (discriminant). On a toujours : ax^2 + bx + c = a(x - )^2 + avec = -b/2a \ et \ = P() = -/4a Le point S( ; ) est le sommet de la parabole représentant P. 2. Méthode : compléter le carré 1. Mettre a en facteur dans les termes en x^2 et en x. 2. Utiliser x^2 + px = (x + p/2)^2 - p^2/4. 3. Redistribuer a et regrouper les constantes. Mini-exemple : x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 - 9 + 11 = (x + 3)^2 + 2. On retrouve = -/4a = -36 - 44/4 = 2. 3. Ce que dit le discriminant En factorisant par a : P(x) = a[(x + b/2a)^2 - /4a^2]. Si 0, le crochet est une différence de deux carrés : P se factorise en a(x - x_1)(x - x_2) dans R. Si 4. Vers les nombres complexes En Mathématiques expertes, si < 0, le nombre i tel que i^2 = -1 permet d'écrire /4a^2 = (i-2a)^2 : le crochet redevient une différence de deux carrés, et tout trinôme se factorise dans C.

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