Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Tout polynôme de degré n 1 admet **exactement n racines complexes** (comptées avec leur ordre de multiplicité). • **Factorisation avec des coefficients complexes** : P(z) = a_n(z - z_1) (z - z_n), uniquement des facteurs de degré 1. • **Factorisation avec des coefficients réels** (si ceux de P sont réels) : facteurs de degré 1 et trinômes az^2 + bz + c de discriminant < 0.

Le cours

1. Théorème de d'Alembert-Gauss (admis) Tout polynôme non constant, à coefficients réels ou complexes, admet au moins une racine dans C. En appliquant ce théorème puis la factorisation par z - z_0 de proche en proche, tout polynôme de degré n 1 s'écrit : P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) (z - z_n) où a_n est le coefficient dominant et z_1, , z_n les racines, éventuellement répétées. Une racine qui apparaît m fois est dite de multiplicité m (double si m = 2, triple si m = 3). Compté avec multiplicité, P a exactement n racines. 2. Cas d'un polynôme à coefficients réels Ses racines non réelles vont par paires de conjuguées z_0, z_0. En regroupant chaque paire : (z - z_0)(z - z_0) = z^2 - 2\,Re(z_0)\,z + |z_0|^2 C'est un trinôme à coefficients réels de discriminant strictement négatif. Ainsi, à coefficients réels, P se factorise en produit de facteurs du premier degré et de trinômes sans racine réelle. Comme les racines non réelles sont en nombre pair, un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle. 3. Mini-exemple z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1). Le trinôme z^2 + z + 1 a pour discriminant -3 : ses racines sont -1 - i32 et -1 + i32. On a donc trois racines, dont une seule réelle, et deux factorisations : un facteur de degré 1 fois un trinôme (coefficients réels), ou trois facteurs de degré 1 (coefficients complexes).

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